Asie, mai 2022

Soit  \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) . On considère les points \(\text A(1\; ; 3)\) et \(\text B(3 \;; 5)\) .
On donne ci-dessous  \(C_f\) la courbe représentative de  \(f\) dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente  \((\text A\text B)\) à la courbe  \(C_f\) au point \(\text A\) .

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1. Déterminer graphiquement les valeurs de  \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\) .

2. La fonction  \(f\) est définie par l’expression \(f(x) = \ln\; (ax^2 + 1)+b\) , où  \(a\) et  \(b\) sont des nombres réels positifs.
    a. Déterminer l’expression de \(f^{\prime}(x)\) .
    b. Déterminer les valeurs de  \(a\) et  \(b\) à l’aide des résultats précédents.

Partie B

On admet que la fonction  \(f\) est définie sur  \(\mathbb{R}\) par :  \(f(x) = \ln\; (x^2 + 1) + 3 - \ln(2)\) .

1. Montrer que  \(f\) est une fonction paire.

2. Déterminer les limites de  \(f\) en  \(+\infty\) et en \(-\infty\) .

3. Déterminer l’expression de \(f^{\prime}(x)\) . Étudier le sens de variation de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb{R}\) . Dresser le tableau des variations de  \(f\) en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de  \(f\) en  \(-\infty\) et \(+\infty\) .

4. À l’aide du tableau des variations de \(f\) , donner les valeurs du réel  \(k\) pour lesquelles l’équation \(f(x) = k\) admet deux solutions.

5. Résoudre l’équation \(f(x) = 3 + \ln 2\) .

Partie C

On rappelle que la fonction  \(f\) est définie sur  \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \ln (x^2 + 1) + 3 - \ln(2)\) .

1. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe \(C_f\) .

2. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) , on a : \(f^{\prime{\prime}}(x) = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\) .

3. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction  \(f\) est convexe.